微分方程

首先，引出一个问题，什么是微分方程？

含有未知函数及其导数的方程即为微分方程

为什么要研究微分方程？

在许多实际问题中，直接建立描述系统状态的函数关系非常困难，但通过物理定律、守恒原理或经验规律，往往能更容易得到导数之间的关系（即微分方程）。

例如冷却过程，我们无法直接测量温度随时间的变化函数 $T(t)$ ，但通过实验发现降温速率与温差成正比（牛顿冷却定律）。 $\frac{dT}{dt} = -k(T-T_{env})$

• $k$ 为冷却系数
• 通过解微分方程得到温度函数 $T(t)=T_{env}+(T_0-T_{env})e^{-kt}$

微分方程与线性代数的联系

首先，最简单的微分方程$\frac{dy}{dx}=cy$,很容易求出其解为$y=e^{cx}+常数$。但实际应用中我们一般会有一个微分方程组，例如：

$其矩阵形式为：\frac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u}$

即：

其中矩阵A表示$u_1和u_2之间的耦合关系。$

以$\frac{du}{dt} = A\mathbf{u}$的形式来看，其解仍然是$\mathbf{u}=e^{At}的形式,假设w=e^{nt}$,我们知道$\frac{dw}{dt}=ne^{nt}$,同时我们知道$Ax=\lambda x,我们很难不把解微分方程和特征值和特征向量联系起来$

齐次方程

首先我们先看一个方程$y'' - 2y' - 8y = 0$，将其写成矩阵形式：

矩阵 $A = \begin{bmatrix}2 & 8 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ 的特征值为：$\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = -2$,可得到其通解为$y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-2x}$

注：此结果与直接求解特征方程 $D^2 - 2D - 8 = 0$ 一致。

非齐次方程

考虑非齐次方程：$y'' - 2y' - 8y = e^{px}$，通解由齐次解和特解组成：$y(x) = \underbrace{C_1 e^{4x} + C_2 e^{-2x}}_{\text{齐次解}} + \underbrace{y_p(x)}_{\text{特解}}$

根据非齐次项 $e^{px}$ 的形式，可用待定系数法求特解 $y_p(x)$。

回到最开始，求解一介线程微分方程组：

求出A的特征向量和特征值:
$\lambda_1=0 \to x_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_2=-3 \to x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

由微分方程的通解为$\mathbf{u}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}x_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}x_2$

代入特征值和特征向量可得:

$\mathbf{u}(t) = C_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + C_2 e^{-3t} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

对于线性微分方程组：$\frac{d\mathbf{u}}{dt} = A\mathbf{u}$，通过特征分解将耦合方程转化为独立标量方程。

若矩阵 $A$ 可对角化：$A = PDP^{-1}, \quad D=\text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n), \quad P=[\mathbf{v}_1 \cdots \mathbf{v}_n]$

• $\lambda_i$ 为特征值
• $\mathbf{v}_i$ 为特征向量

令 $\mathbf{u}=P\mathbf{w}$，则原方程变为：$\frac{d\mathbf{w}}{dt} = D\mathbf{w} \implies \begin{cases} \frac{dw_1}{dt} = \lambda_1 w_1 \\ \vdots \\ \frac{dw_n}{dt} = \lambda_n w_n \end{cases}$

每个独立方程的解：$w_i(t) = C_i e^{\lambda_i t}$，还原变量得：$\mathbf{u}(t) = \sum_{i=1}^n C_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$

若 A 有重特征值但几何重数不足，需用Jordan标准型求解，这里就不做赘述。

由此通解可得当$t\to\infty$时，$C_2 e^{-3t} \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}^T$趋近于0，则$u \to \infty$时，$\u\to C_1 \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}^T$得出结论当$\lambda<=0$时，$t\to\infty$微分方程组的解u则会趋于一个稳定值。

当特征值为复数时呢？

其实当特征值为复数时，其虚数部分可以看成在围着单位圆不断旋转。假设一个复数为$e^{-2+5it}$，如果了解欧拉公式，就应该知道$e^{5it}=cos(5t)+isin(5t)$,其值永远是一个很小的数，因此我们只需要看实数部分即可。